门限签名--加密世界的协作与安全

最近发现密码学当中的签名是真的多，并且也挺好玩的，因此呢，就了解了一下相关的知识，在数字世界的深处，一项革命性的密码学技术——门限签名，正悄然改变着我们对安全性和信任的理解。想象一个未来，其中不仅仅是单一的密钥或签名能够控制信息的流向，而是需要一组选定的个体共同作出决定。门限签名，作为这个愿景的核心，确保了只有当足够数量的成员同意时，重要的操作和决策才得以执行，从而开启了一种全新的集体授权时代。

前言

门限签名允许一组参与者共同控制一个密钥，而无需将完整的密钥信息暴露给任何单一实体。在这个系统中，密钥被分割为多个片段，每个参与者持有一个。只有当足够数量的片段集合在一起时，才能产生一个有效的签名——这就是门限签名的核心理念。它的美妙之处在于，它不仅保护我们免受外部攻击者的威胁，还防止了内部的不当行为。然后呢，在正式介绍门限签名之前呢，为了使得例子更加的好用，然后，这里先来介绍一下秘密共享的相关知识。

秘密共享

在当今数字时代，信息的安全存储与传递成为了一个重要议题。Adi Shamir在1979年提出的秘密共享协议，为解决这一问题提供了一个既安全又高效的方案。

基本原理

Adi Shamir在1979年提出的这一协议基于一个简单而强大的数学概念：多项式插值，特别是拉格朗日插值法。在Shamir的方案中，要共享的秘密（S）被嵌入到一个多项式的常数项中，而该多项式的其他系数则是随机选择的。这种方法的关键在于，任何小于设定阈值（k）的点集合都不足以确定多项式的确切形式，从而保护了秘密。不要被后面的数学知识吓到蛤，希望可以看下去。

共享过程

「选择质数p」：首先要选择一个大于秘密数S的质数p，作为有限域GF(p)的模。所有的计算都在模p的情况下进行，以确保运算结果不会超过p。
「构建多项式」：然后构造一个k-1次多项式，形式如下：其中，秘密数S为常数项，而系数是随机选择的，且均小于p。
「生成shares」：为了生成n个shares，计算f(x)在n个不同的( )点的值（不能为0，也应该小于p）：

内容恢复

「拉格朗日插值」：为了从k个shares恢复原始的秘密S，使用拉格朗日插值法，它是根据k个点来确定一个k-1次多项式的过程。对于x = 0 常数项），插值多项式可以表示为：
其中是被分享的值。
「恢复S」：计算L(0)给出了插值多项式的常数项，即，也就是秘密S。

这么看起来，似乎不是非常好理解，我们还是来看一个具体的例子吧。

具体案例

假设我们的秘密信息为1234，我们要将他分成6个部分，然后需要任意k=3个部分来恢复内容。

选择一个质数p，例如p = 5003。
构建一个2次多项式（因为k-1=2），比如：这里，我们选择了随机的系数166和94。
生成6个shares，例如计算( f(1), f(2), ..., f(6) )。

于是，我们可以得到对应的点对。

假设我们现在有3个shares，比如(1,1494), (3,2578), 和(4,3402)。
我们使用拉格朗日插值来恢复S。对于( x = 0 )，我们有：

可以得到，可以发现，这个是可以拿到最终的结果的，要注意，这里的运算都是在域GF(p)下的运算。

小结

其实呢，这个可以直接套用插值的公式，其实也可以来解方程，解方程的话，其实要用到中国剩余定理，所以去看插值的前面的系数，会发现和中国剩余定理的系数是一致的，这里中国剩余定理我就不展开来讲了，感兴趣的读者可以自行查阅下相关的资料。

门限签名算法

门限密码学的概念最早在1979年由Adi Shamir提出，他也是著名的Shamir's Secret Sharing（SSS）算法的发明者。该算法允许将一个秘密（如加密密钥）分配给一群人，但只有集齐足够多的份额，才能重建出原始秘密。门限签名技术正是基于这种思想发展而来，它结合了秘密分享的概念和数字签名的需求，形成了一种既安全又实用的密码学解决方案。

签名过程

密钥生成

在门限签名系统中，首先需要进行的是密钥生成过程。这个过程通常涉及到创建一个公开的公钥以及一个私钥，后者将被分割成多个份额（shares）。

「公钥」：用于验证签名的密钥，可以公开。
「私钥」：用来生成签名的密钥，它会被分割，且其多个份额将分发给各个参与者。

私钥分割

私钥不是整体存储或共享的，而是通过某种秘密分享算法（如Shamir's Secret Sharing）被分割成多个份额。这些份额随后分配给各个参与者，每个人只能获得一份。

「秘密分享算法」：这是一个数学过程，通过它，一个秘密（在本例中是私钥）被分成多个部分，只有当集齐一定数量的部分时，才能重新构造出原始的秘密。

签名生成

当需要对一个消息或者交易进行签名时，参与者们将使用他们各自的私钥份额对消息进行部分签名。然后，这些部分签名会被收集起来。

「门限」：这是一个预定义的数字，表示有效签名所需的最小私钥份额数量。如果参与者的数量达到了这个门限，那么他们的部分签名就可以组合成一个完整的、有效的签名，这里采用SSS的算法，就是k的值。

签名验证

一旦生成了完整的签名，任何人都可以使用预先定义的公钥来验证签名的有效性。如果签名验证成功，这意味着签名确实是由持有足够多私钥份额的参与者生成的。

总结

本文呢，介绍了门限签名的相关概念，门限签名的优势是，没有单一的参与者可以独立的完成签名，每个人都只有私钥的一部分，并且，某个人的密钥丢失，不会影响签名的生成和验证，好了，本文到这里就结束了，感谢读者看到这里。

参考资料

Shamir, Adi (1979), "How to share a secret", Communications of the ACM, 22 (11): 612–613, doi:10.1145/359168.359176, S2CID 16321225
https://en.wikipedia.org/wiki/Shamir's_secret_sharing
https://en.wikipedia.org/wiki/Threshold_cryptosystem