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1. 系统模型

考虑一个由m位专家组成的专家小组，记为{ E_1，..，E_m }，涉及一个具体问题.专家的意见表示为从0到1的连续标量，其中1表示极端积极的意见，0表示极端消极的意见。

图1 以6位专家组成的信任关系网络

专家被要求提供他们的初始意见，他们的自我置信度，以及他们在专家之间的社会关系。令x_i ( t )为专家E_i在t时刻的意见，其中t ( t∈N , N是非负整数集合)表示第t轮意见交互。设t_ii为专家Ei对自己初始观点的自信度，t_ij(j≠i)为专家Ei对专家Ej的相对信任度。较低的tij意味着Ej对Ei的影响较小。特别地，t_ij = 0表示没有影响。在这个意义上构建了基于专家自信心和相对信任度的信任关系矩阵T = ( t_ij ) _(m×m)。

根据专家之间的相对信任关系，构建一个有向图G( V、E)来刻画信任关系网络，其中节点集V = { E_1，..，E_m }表示m位专家，边集E = { ( E_i,E_j) | t_ij > 0 }表示专家之间的信任关系。边( E_i,E_j)∈E表示专家E_i受到专家E_j的影响，与弧( E_i、E_j)相关的权重由t_ij决定。(E_i , E_i)回路由专家E_i指向自己，与( E_i , E_i)回路相关联的权重t_ii表示专家E_i对自己意见的自信程度。图1是一个由6位专家组成的信任关系网络的例子。基于信任关系网络，确定有向图G(V、E)的邻接矩阵A = ( a_ij ) m × m如下：

基于支持度的信任关系网络OD模型由两个步骤组成。第一步是确定每个专家的邻域,考虑每个成员的邻域是由信任关系网络决定的，即:

第二步是根据收集到的信息对每个专家的观点演化过程进行建模。因为每个成员都是一个决策者，他们的邻居成员的意见就是要聚合的意见。

专家E_i的确信程度由他/她对当前观点的自信程度和邻居的支持程度决定。具有ε_i -相似意见的专家E_i在t时刻的邻居集定义为:

E_i在时刻t的ε_i -支持度γ_i( t ,ε_i)定义为E_i的具有ε_i -相似意见的邻居数与邻域总数的比值，即:

结合这两方面的影响，可以引入专家E_i在t时刻对其当前观点的确定度w_ii(t ,ε_i)，作为自信度t_ii和ε_i -支持度γ_i(t,ε_i)的线性组合。需要指出的是，E_i邻域的基数会影响权重对ε_i -支持度的分配。如果专家E_i的邻域为空，则E_i不会考虑他人的意见。当|N(E_i ) |变大时，E_i更加关注支持度。因此，与γ_i(t,ε_i)相关的权重会被分配得更多，但仍在一个限制之下。假设当|N(E_i) |大于常数b时，γ_i(t,ε_i)的权重是一个截断值c∈( 0、1 )，否则，权重与|N(E_i)|线性相关。通过引入一个权重分配函数waf ( x )来确定ε_i -支持度的权重，它是从R到R的一个映射，满足:1 )当0≤x≤b时，waf ( x ) = ( cx / b )；2 )当x > b时，waf ( x ) = c .对于专家E_i，分配给ε_i-支持度的权重定义为:

因此，专家E_i在t时刻的确信度w_ii(t,ε_i)被建模如下，表示与专家E_i当前意见相关的权重，即:

图2给出了专家E_i对其当前观点的确定程度的自信度t_ii和ε_i -支持度的关系。

图2 基于信任关系的OD模型权重wii(t,ε_i)的确定原则

2.  基于支持度模型的收敛性分析

用有向图 G (V,E) 描述信任网络后，邻接矩阵A的元素 a_ij 设定为 “1”（当 t_ij>0，即 E_i 信任 E_j）或 “0”（无信任关系），明确观点传播的拓扑结构；

这是收敛性分析的核心载体 —— 根据支撑式模型的观点更新规则（结合信任度与 ε- 支持度），演化矩阵的元素w^~_ij(t,εi)对应 “E_i 在t时刻受E_j观点影响的权重”：当j=i时，权重为E_i对自身观点的确定性程度w_ii (t, ε_i)；当j是E_i的邻居时，权重为(1-w_ii (t, ε_i))×归一化后的邻居参考权重w_ij (t, ε_i)；其余情况为 0。

演化矩阵W~(t,ε)是 “随机矩阵”（每行元素和为 1），这意味着观点更新本质是 “加权平均”，也就是随机矩阵的特性决定了其乘积的稳定性。然后研究通过三个引理逐步拆解演化矩阵的行为规律，为最终收敛定理做铺垫：

引理 1：演化矩阵与邻接矩阵的“结构绑定”

证明演化矩阵W~(t,ε)的“非零元素位置”始终与邻接矩阵A+单位矩阵I一致（I 对应成员对自身的信任）。即无论观点怎么更新，“谁能影响谁”的拓扑关系不会变—— 这保证了观点传播的路径稳定性，不会出现无中生有的影响关系。

引理 2：演化矩阵乘积的 “结构不变性”

定义演化矩阵乘积Uε(r,k)=W~(r+k−1,ε)×…×W~(r,ε)（即r到r+k-1时刻的演化矩阵连乘），证明其非零元素位置与“邻接矩阵A+I的k次幂”一致。这说明随着时间推移，观点影响的传递路径只会按网络结构延伸，不会混乱。

引理 3：演化矩阵的 “有限状态性”

由于ε-支持度γ_i(t,ε_i)的取值由“相似观点邻居数/总邻居数”决定（邻居数有限），演化矩阵W~(t,ε)的可能状态数量是有限的——不会出现无限多的变化模式，这为后续 “极限存在”的证明提供了关键依据。

因此本文得出结论：当信任网络中存在“非空全局可达节点集（GRS）”时，支撑式模型下的群体观点必然收敛到共识。

这里的“全局可达节点集（GRS）”是关键——指网络中存在至少一个节点（比如群体中的核心决策者），所有其他节点都能通过有向信任路径连接到它。简单说，只要群体中有 “信息枢纽”，能让所有人的观点最终传递到这个枢纽并受其影响，观点就不会发散。

最终的共识观点是“所有成员初始观点的凸组合”（加权平均），且全局可达节点对应的权重更大——这符合现实逻辑：核心节点的观点对最终共识的影响更显著。

1.  实验设置

实验数据是关于美国西海岸的一个制造组织中的咨询网络。组织2个管理者组成，即{ E_1，E_2，..，E_21 }，有向建议网络表示谁向谁寻求建议。用一个有向图G( V,E)来表示建议网络，其中21个节点是21个管理者，弧(E_i,E_j)表示管理者E_i向管理者E_j提出建议。图3描绘了直接建议网络。

图3  21位管理者之间的咨询网络

表1列出了网络的邻接矩阵A = ( a_ij )_( 21×21)，其中a_ij = 1表示管理者E_i向管理者E_j征询意见。管理者E_i ( i = 1,2 , ... , 21)的邻域为N ( E_i ) = { E_j | a_ij = 1，j = i }。

管理者需要提供他们的初始意见和他们对邻居的相对信任度。通过去模糊化和归一化处理[ 0、1 ]中的变量, 可以捕获他们OD的关键特征，并最大限度地保存隐式和显式信息。在本文的模拟中，从均匀分布在[0,1]的区间上随机生成21位管理者的初始意见向量：

2.  实验结果 

在图4中可以看出，随着阈值ε的减小，收敛速度增加。子图( a )至( d )显示，21位管理者的意见是逐渐稳定的。假设21位管理者在最大观点与最小观点之间的距离小于0时达成软共识。01，即| X_max ( t ) –X_min ( t ) | < 0.01时，可以发现管理者小组分别在t = 25，24，20，17时达成共识，这意味着较低的阈值ε反映了对相似意见更严格的要求，加快了邻域内意见的交互和融合，加快了收敛速度。

图4 21位管理者的OD过程采用信任关系网络中的支持型模型

图5描述了第四节中基于PID启发模型的21位管理者的观点演化过程。类似地，子图( a )到( d )代表四种情况，ε= 1.0,0.5,0.2;0.1。结果还表明，经理人小组最终会以不同的收敛速度达成共识。此外，从子图( a )到( d )可以看出，21位管理者的意见分别在t = 11，10，9，8时达到了软一致，这表明较低的阈值ε显示出较高的收敛速度。

图5 基于PID的信任关系网络上21位管理者的OD过程

图6展示了21位管理者基于SNHK模型的观点演化过程，其中子图( a )至( d )分别代表四种情况，ε= 1.0，0 . 5，0 .2，0.1。可以看出，当ε= 1和ε= 0.5时，经理人小组最终达成共识，但当ε= 0.2和ε= 0.1时，管理者小组无法达成共识。将图6与图5和图4进行对比，可以看到基于支持度的模型和PID启发的模型可以增强群体共识，即使所有的管理者对他们的邻居成员几乎没有信心。

图6 基于SN - HK模型的21位管理者的OD过程

本文聚焦信任关系网络中的观点动力学（OD）研究，针对传统模型信息维度单一、收敛效率低的问题，提出支撑式观点模型与 PID 启发式观点模型：前者整合 “显性信任信息”与“隐性观点差异信息”，定义了ε- 支持度量化观点相似性，并明确 “信任网络存在非空全局可达节点集（GRS）”这一收敛条件；后者受 PID 控制理论启发，进一步融合“当前观点表现（比例项）、历史调整效率（积分项）、未来演化趋势（微分项）” 的多时序信息，更贴合人类决策逻辑。