央行数字货币是否有助于治理影子经济？ ——基于新货币主义经济学的分析

纸币被认为是一种能够替代过去交易记录保存技术的设备。纸币的匿名性和及时清算特征使其成为影子经济活动的主要交易媒介。大量的纸币流入到影子经济，被用于洗钱、腐败、偷税漏税等经济活动。影子经济造成的社会福利损失远远超过发行纸币带来的铸币税收入。根据Schneider的计算，美国影子经济规模大约为GDP的7.1%。欧洲国家的影子经济规模在7.8%—30.2%之间波动，平均值为17.9%。由于纸币可以看作是一种零息债券，负利率政策会促使投资者放弃国库券并囤积现金，因而纸币对货币政策造成了一定程度的束缚。金融危机之后，各国央行一直无法通过将利率降至零以下来刺激经济增长和通胀，这种限制几乎使每个发达经济体的货币政策陷入瘫痪。纸币在影子经济中的大量流通以及对货币政策造成的约束被Rogoff称作“纸币的诅咒”（The Curse of Cash）。

图1展示了2016年全球60个国家影子经济规模与数字支付之间的关系。总体来看，发达经济体往往具有较高比例的数字支付，但是这些数字支付比例较高的国家通常也伴随着较低的影子经济规模。例如，瑞士和瑞典的数字支付占比都超过了95%，而影子经济活动处于较低水平，分别占GDP的8.6%和10.7%。不难发现，影子经济规模和数字支付之间存在一定程度的负相关性，两者之间的相关系数为－0.67。平均而言，数字支付每上升1个百分点将导致影子经济规模下降2个百分点。

随着数字支付的快速发展，纸币的需求也在日益降低，数字支付改变了消费者的货币需求结构。然而，2021年有4.5%的美国人口没有银行账户，在这4.5%的美国人口中有13.2%的人表达了对银行的不信任，以及8.4%的人表示离开银行系统是为了保持更多的隐私需求。对于没有金融账户的人来说，纸币仍然是主要的交易媒介。

近年来，央行数字货币（Central Bank Digital Currency, CBDC）引起了各国政府的广泛关注。为维护金融安全和稳定，各国中央银行和国际经济组织在探索央行数字货币时，均将满足反洗钱、反恐怖融资及反逃税等要求的设计作为重要前提。中国人民银行发布的《中国数字人民币研发进展白皮书》指出，数字人民币的设计遵循“小额匿名、大额依法可溯”的原则，明确提出要防范数字人民币被用于电信诈骗、网络赌博、洗钱、逃税等违法犯罪行为，确保相关交易遵守反洗钱、反恐怖融资等要求。在可能涉及洗钱、恐怖融资和逃税等违法犯罪交易时，数字人民币的数字账户特性便于获取相关客户信息进行风险分析及监测，以履行相关法律义务。

不同于纸币的完全匿名性，通过央行数字货币交易的信息可以被中央银行监测并记录。央行数字货币的数字特性使其可以作为一种交易记录保存设备，以跟踪交易历史。在这样的背景下，发行央行数字货币是否有助于降低影子经济规模，以减缓纸币面临的诅咒效应？这一问题不仅具有理论价值更有现实意义。本文将结合理论模型和实际数据对这一问题进行深入分析。

随着数字支付和数字资产的快速发展，关于公共部门是否应该为现代经济提供数字支付工具的问题吸引了大量关注。迄今为止，关于央行数字货币的研究主要聚焦于央行数字货币对商业银行的影响，央行数字货币对货币政策和金融稳定的影响，以及央行数字货币的福利影响。Keister和Sanches认为，CBDC的发行会对银行存款造成挤出效应从而导致银行资金成本上升以及投资水平的降低，但有助于支付效率的提升以及增加社会福利水平。在CBDC和商业银行存款竞争模型里，当银行在存款市场的市场力量受到CBDC限制时，CBDC会增加社会福利。Kim和Kwon研究了CBDC对金融稳定的影响，在CBDC账户中引入存款实质上减少了商业银行的私人信贷供应，提高了名义利率，从而降低了商业银行的存款准备金率。这增加了银行恐慌的可能性，从而对金融稳定产生负面影响。然而，当中央银行将CBDC账户中的存款借给商业银行并且满足一定的准备金条件时，CBDC的发行有助于金融稳定。Williamson通过建立与Keister和Sanches相似的货币搜寻模型来考察CBDC对社会福利以及货币政策的影响。Williamson的研究表明，CBDC的发行方式影响着社会福利以及政策效率。

本文的研究也与影子经济的文献有关。Gomis-Porqueras等通过建立包含信用交易和货币交易的货币搜寻模型提供了一个理论来指导影子经济的测量。Aruoba在交易者具有税收规避动机情形下考虑了最优政策的拉姆齐（Ramsey）问题。在Aruoba的基础上，Kwon等通过构建包含纸币和央行数字货币的货币搜寻模型进一步讨论了最优货币政策问题。综上，现有文献探讨的主要是在税收规避环境下的最优政策问题以及经济福利问题，不同于此，本文主要讨论央行数字货币（CBDC）的发行如何解决政府面临的信息不完全问题，以及CBDC的发行如何通过影响交易者的货币需求进而影响影子经济。

另外，相关研究大多聚焦于宏观层面，很少有文献从微观视角来探讨央行数字货币对个体行为的影响。少部分文献利用货币搜寻理论来分析在税收规避行为环境中的最优政策问题，此类研究聚焦于最优政策的讨论，并不考虑央行数字货币对影子经济的影响。在这类文献中，更多地将货币搜寻理论以一种简约的形式纳入模型，很少讨论货币搜寻理论所强调的具有摩擦因素的交换过程，离散化的市场往往被假定为具有完全竞争机制的交易过程。事实上，不考虑交易过程中的摩擦因素也就无法洞悉交易过程，更不能清晰分析交易者的行为特征。为了全面认识央行数字货币对影子经济的影响机制和路径，本文在第三代商品与货币交换的货币搜寻模型基础上，构建了包含纸币和央行数字货币两种货币的动态一般均衡模型，分析央行数字货币对影子经济的影响机制，并利用实际经济数据模拟了央行数字货币对影子经济规模的影响效应。

为准确刻画央行数字货币对影子经济的作用机制，这一部分在Lagos和Wright商品与货币交换的货币搜寻模型基础上，构建了包含央行数字货币和纸币两种货币的动态一般均衡模型，并详细描述了市场上的交易行为。在新货币主义经济学的理论框架中，货币因充当交易媒介而具有一定的流动性溢价，这使得货币的价格高于其内在价值。考虑到央行数字货币和纸币在计息以及税收征收方面的差异，不同于Zhu和Hendry以及Keister和Sanches的研究，本文假定央行数字货币和纸币具有不同的价格。

（一）模型环境

本文考虑离散时间模型，每一期被划分为两个子时期，分别是白天和夜晚。白天和夜晚的经济活动有所不同。在白天，存在一个无摩擦的集中化市场，夜晚是具有匿名交易的离散化市场。每一期两个市场交替进行，每个市场上存在一种易腐商品，存在由无限期寿命的交易者组成的连续系统。交易者被分为两类，即消费者和生产者，交易者的规模为1。在白天，所有的交易者都能消费和提供劳动力；在夜晚，消费者愿意消费却不具备生产能力，而生产者具备生产能力却不愿消费。在这种双重需求不吻合的假设下，由于夜晚市场上的交易者是匿名的，交易者拥有的资产是私人信息，排除了夜晚市场上信用交易的可能，因此，货币可以作为夜晚市场上的交易媒介。

本文的模型建立在第三代货币搜寻模型基础上，货币是可分的，交易者可以持有任意非负数量的货币。货币有两种，一种是纸币Mt，另一种是央行数字货币Dt。中央银行对CBDC计息，利息率是rd。在t期，货币的供给总量由中央银行决定，且在白天发行，通过政府购买商品和服务的方式注入经济。货币增长率是外生的，用μm,t和μd,t分别表示纸币和CBDC的增长率，μm,t =Mt/Mt －1－1，μd,t= Dt/Dt －1 －1，满足：1+μm,t＞β，1+μd,t＞β，其中β是交易者的贴现因子。

在t期，消费者的即期效用函数为：，其中xt是白天市场上消费的商品数量，ht是白天市场上劳动量，qm,t和qd,t分别表示夜晚市场上消费者通过纸币交易和CBDC交易消费的商品数量，ε和1－ε分别表示夜晚市场上通过纸币交易和CBDC交易的概率。假设同一期两个市场之间贴现率为1，不同时期相邻两个市场之间的贴现率为β。消费者的终身效用为。假定白天市场上交易者的效用函数v(x)满足v(0)= 0, v'(x)＞0, v''(x)＜0, v'(0)= ∞；夜晚市场上消费者的效用函数u(q)满足u'(q)＞0, u''(q)＜0, u(0)= 0, u'(0)= ∞。在t期，生产者的即期效用函数为：，其中xt是白天市场上消费的商品数量，ht是白天市场上劳动量，qm,t和qd,t分别表示夜晚市场上通过纸币交易和CBDC交易情形下生产者生产的商品数量。生产者的终身效用为。假定夜晚市场上生产者的成本函数满足c'(q)＞0, c''(q)＞0, c(0)= 0, c'(0)= 0。存在实数x*和q*使得v'(x*)= 1以及u'(q*)= c'(q*)。

每一期，白天市场上商品价格标准化为1，货币的价格用白天市场上的商品衡量。纸币的价格为，CBDC的价格为。在夜晚市场，消费者和生产者随机匹配进行交易的概率是σ。夜晚市场上的交易在ε的概率下要求使用纸币，在1－ε的概率下要求使用CBDC。假设存在一种技术使得市场上的交易者能够识别CBDC，以便完成点对点交易。货币交易概率ε可视作对交易场景的描述。在金融发展水平较低的地区，交易多使用纸币进行，而在金融较为发达的地区，交易多使用CBDC进行。本文不考虑同时使用纸币和CBDC交易的情形，这样的交易场景会引起货币竞争问题，并且货币竞争也不会改变本文的主要研究结论。夜晚市场上交易的商品数量和货币支付通过纳什议价的方式确定。

在白天，交易者向竞争性企业出售劳动力并获取单位工资报酬w。交易者在白天市场上因提供h单位劳动带来的效用是－h。由于白天市场上交易者的偏好是拟线性的，在每一期结束时，消费者将持有相同数量的货币数量进入下一期的夜晚市场，并且这一货币数量不受当期财富的影响。假设竞争性企业只在白天市场活动，具有线性生产函数，可知工资满足w =1。

政府通过税收为其支出融资。税收分两种，分别是总额税和收入税。政府对劳动收入征收税率为τ的税收，此外征收总额税Tt。假定白天市场上的劳动收入由竞争性企业汇报给政府，因此，无论是使用纸币还是CBDC，白天市场上的劳动收入都需要缴纳收入税。不同于Gomis-Porqueras等的研究，本文考虑夜晚金融市场是不完全的情形，交易者无法通过信用交易或者资产抵押的方式完成交易。由于金融市场的不完全性，政府无法监测到经济个体的交易活动。经济活动是否可监测取决于交易者使用的交易媒介。同时，假设政府不能观察到白天市场上交易者持有的货币量。由于纸币的不记名特性，政府无法监测到通过纸币交易的经济活动；央行数字货币的数字化特性解决了纸币交易情形下政府面临的不完全信息难题，使得政府可以通过对CBDC交易的经济活动进行征税。综上，政府的预算约束可以表示为：

其中Gt表示政府支出，Tt 表示总额税，Ht表示白天市场上劳动收入总额，YD 表示夜晚市场上通过CBDC交易的商品数量，等式右边最后两项表示实际铸币税收入。为简化描述，在下文的分析中，t期的变量将略去下标t，t +1期的变量下标将会以“+1”的形式出现。

需要说明的是，本文讨论的影子经济指的是通过纸币交易的税收规避行为。本文的商品和劳动都是合法的，不存在非法商品和服务，利用纸币进行逃税是唯一的非法行为。被征税的经济活动构成正式部门，非正式部门则由夜晚市场上通过纸币交易的经济活动组成。本文考虑两种交易媒介：一种是物理形态的纸币，一种是数字形态的央行数字货币。现实经济中的支付方式还包括信用交易、银行存款以及第三方支付（微信、支付宝）等，将这些支付方式纳入模型并建立多种交易场景更符合现实经济特征。可以证明，在本文的基础上构建包含多种支付方式的模型不会影响本文的研究结论。这样的模型设计虽然更贴近现实，但增加了模型的复杂程度，因此在构建模型与数值模拟分析时，本文仅考虑包含纸币和央行数字货币两种交易媒介情形下，CBDC对影子经济的影响。

（二）市场和交易

我们从每一期的夜晚市场开始分析，研究买卖双方进行双边交易并就交易条件进行讨价还价的市场结构。用V i和Wi 分别表示交易者在夜晚市场上和白天市场上的值函数，其中i = b表示消费者，i = s表示生产者。用pj和qj分别表示夜晚市场上交易的货币支付数量和商品数量，其中j = m表示纸币交易的情形，j = d表示CBDC交易的情形。

夜晚市场上，消费者选择商品消费组合{qm,qd}最大化值函数V b (m,d)，持有货币数量(m,d)的消费者在夜晚市场的贝尔曼方程为：

当消费者在夜晚市场上以σε的概率完成现金交易时，消费qm单位的商品，带着剩余货币量m－pm进入白天市场；当消费者在夜晚市场上以概率σ(1－ε)完成CBDC交易时，消费qd单位的商品，并以剩余货币量d －pd进入白天市场。同样地，持有货币数量(ms,ds)的生产者在夜晚市场的贝尔曼方程可表示为：

在白天市场，消费者消费商品x、提供劳动h，并决定下一期持有的货币数量(m+1,d+1)。持有货币数量(m,d)的消费者问题可以表示为：

满足预算约束：

由于白天市场上生产者的最优化问题和消费者类似，文中不再展示。本文重点关注具有搜寻摩擦的夜晚市场，略去白天市场上优化问题的求解以及证明过程。

当消费者和生产者在夜晚市场上相遇时，交易通过纳什议价的方式确定。假定消费者的议价能力是θ，生产者的议价能力是1－θ，满足θ∈[0,1]。首先考虑纸币交易的情形。当消费者和生产者在夜晚市场上匹配交易时，通过纳什议价决定的商品数量和货币支付{ qm,pm }是以下最优化问题（6）的解：

满足预算约束：

结合优化问题（6）的一阶条件，定义实际支付函数gm(qm)：

实际支付函数gm(qm)满足：当qm＜qm*时，∂gm(qm)/∂qm＞0，其中qm*表示最优消费水平，pm*表示最优消费水平要求的货币数量。随着消费者持有货币数量的增加，购买商品数量随之增加，即。

与Lagos和Right讨论的形式不同，本文的实际支付函数gm(qm)受税率τ影响。然而根据最优化问题（6）的一阶条件可知，参数τ并不影响消费者的消费水平qm。由于夜晚市场上使用纸币进行交易可以避税，即使政府对交易者的劳动收入征税，生产者的生产行为也不会受到税收的影响。劳动收入税的存在不会影响夜晚市场上消费者通过纸币交易时的消费水平。

接下来考虑CBDC交易的情形。通过纳什议价决定的商品数量和货币支付数量{ qd,pd }是以下最优化问题（9）的解：

满足预算约束：

定义实际支付函数gd(qd)：

上述实际支付函数gd(qd)具有与纸币交易情形下相似的性质，此处不再讨论。

通过CBDC交易赚取的货币要缴纳劳动收入税。当交易通过CBDC进行时，税收通过影响夜晚市场上生产者的劳动收入报酬，进而对消费者的消费水平产生影响。夜晚市场上的交易表明，即使市场上存在劳动收入税，通过纸币交易实现的最优消费水平仍然可以实现资源配置的社会最优水平；而通过CBDC交易实现的最优消费水平并未实现资源的有效配置状态。劳动收入税扭曲了资源配置，降低了消费者的消费水平。

（三）货币需求的欧拉方程

以上分析表明，夜晚市场上的交易受消费者持有货币数量的影响。消费者在白天市场决定其下一期的对货币持有量。消费者的货币决策(m+1,d+1)是优化问题的解，对(m+1,d+1)求一阶条件，可得：

将夜晚市场协商议价的交易结果带入消费者的值函数V b(m,d)，利用消费者关于货币决策{m+1,d+1}的一阶条件，可知：

等式（14）和（15）是消费者货币需求的欧拉方程，其中λm(qm) ≡ (1－τ)u'(q m)/g m'(q m)－1,λd(qd) ≡ (1－τ)u'(qd)/gd'(qd)－1 分别表示纸币交易和CBDC交易情形下货币的流动性溢价。其中gi'(qi), i ={m,d}是商品的边际价格，1/gi'(qi )是1单位货币购买商品的数量，ui '(qi )是商品的边际效用，ui'(qi)/gi'(qi)表示夜晚市场上消费1单位货币带来的边际效用，而货币在白天市场上的边际效用为((1－τ)－1。于是，σελm(qm,+1) 和 σ(1－ε)λd(qd,+1)就是消费者持有1单位货币的收益，这一收益来源于夜晚市场上的商品交易。货币搜寻模型强调了交易环境对货币价值决定的重要性。如果这种交易很少发生，即σε和σ(1－ε)很小，货币的价值就会越低。货币需求的欧拉方程（14）和（15）表明，经济中存在对消费的通胀税。在货币搜寻模型中，通货膨胀对消费的征税取决于交易的性质。交易成功的概率增加，使得货币的价值上升，这就会降低持有货币的净成本。货币需求的欧拉方程也可以看作是货币的定价公式。因充当交易媒介具有一定的流动性溢价，这使得货币的价格高于其内在价值，进而表现出一定的泡沫。

对于生产者而言，1+ μm＞β时，持有纸币的边际收益小于边际成本，生产者带入下一期夜晚市场上的纸币数量为零。纸币市场出清意味着m+1= (1+ μm)M。不同于纸币，央行数字货币的计息特性使得其在充当支付手段外可能被交易者作为价值贮藏手段。由于本文关注的是货币在夜晚市场上充当交易媒介职能，且持有货币并不为生产者带来任何流动性服务，因此在本文的均衡中生产者在白天市场结束时的货币持有量为零。CBDC市场出清意味着d+1= (1+μd )D。尽管如此，本文仍然保留生产者持有货币的符号以代表一般情形。

（一）模型均衡

模型均衡定义为：给定税收、政府购买、货币发行以及CBDC利息率，存在序列{,x,h,xs,hs, m,d,ms,ds,qm,pm,qd,pd  }使得：（1）消费者的货币持有量、消费以及劳动时间决策是最优的；（2）生产者的货币持有量、消费以及劳动时间决策是最优的；（3）货币需求等于货币供给；（4）政府预算平衡。

本文主要关注稳态均衡。货币均衡的存在性要求交易者从白天市场带到夜晚市场的货币数量是严格为正的，满足。定义实际货币余额。将货币需求的欧拉方程（14）和（15）表示为关于实际货币余额的欧拉方程：

其中L(zm) 和 L(zd)表示货币的流动性溢价，货币的流动性溢价随着消费者持有的实际货币余额的增加而降低。稳态均衡要求实际货币余额保持不变，因此有。稳态均衡时，货币需求的欧拉方程为：

稳态均衡时，持有货币的边际成本等于边际收益。等式左边是消费者持有1单位货币的机会成本，等式右边是消费者持有1单位货币的收益，这一收益源自货币充当交易媒介在夜晚市场上进行商品交易。

均衡时，消费者总是花光持有的货币余额以实现效用最大化。由于持有货币具有成本，消费者进入夜晚市场时持有的货币数量低于最优消费水平要求的货币数量。消费者即使花光了所有货币也无法实现最优消费水平。在纸币交易情形下，最优消费水平要求货币政策满足弗里德曼规则，即1+μm= β；在CBDC交易情形下的最优消费水平要求货币政策满足条件：1+μd= β(1+ rd)。由于税收的缘故，最优消费水平不一定是资源的社会最优配置状态。虽然货币政策可以调整使得夜晚市场上的交易不受流动性约束（此时，货币不存在流动性溢价），从而实现最优消费水平。但是，考虑到夜晚市场上通过CBDC交易的劳动报酬需要缴纳税收，CBDC交易场景下的消费水平始终低于资源配置的有效率水平，资源的有效配置需要货币政策和财政政策同时做出调整，即：1+μd= β(1+ rd)，且τ = 0。

（二）稳态分析

为了理解CBDC对影子经济的作用机制，在接下来分析中，我们将说明CBDC如何影响消费者持有的实际货币余额、夜晚市场上的产出水平以及影子经济规模。在此之前，先对影子经济规模的内涵进行界定。参照Aruoba的研究，本文将影子经济规模SI定义为非正式部门产出水平与正式部门产出水平的比率，公式表示为SI= σεYM/{YCM+σ(1－ε)YD}，其中YM表示夜晚市场上通过纸币交易实现的产出水平，YD表示夜晚市场上通过CBDC交易实现的产出水平，YCM表示白天市场上的产出水平。

1. CBDC对影子经济的影响

货币交易概率ε代表着两种形态货币交易的可能性。随着央行数字货币的发展，CBDC交易场景相较于纸币交易场景上升，也就是ε从1逐渐减小到0。由货币需求的欧拉方程（18）和（19）可知，消费者最优的货币需求数量随着货币交易概率的变化而变化： ∂zm/∂ε = －L(zm)/[ εL'(zm)]＞ 0,∂zd /∂(1－ε) = －L(zd)/[(1－ε)L'(zd)]＞0。当纸币交易概率ε下降时，CBDC交易概率1－ε上升，稳态时消费者对纸币的最优需求数量下降，对CBDC的最优需求数量上升。

均衡时，消费者持有的货币数量小于最优消费水平要求的货币数量，夜晚市场上的交易受到消费者持有货币数量的约束。夜晚市场上的议价结果表明，消费者持有的实际货币余额和产出之间的均衡关系为。夜晚市场上的产出水平随着消费者持有实际货币余额的变化而变化，即∂qm/∂zm=1/{ ∂gm(qm)/∂qm }＞0,∂qd/∂zd=1/{ ∂gd(qd)/∂qd}＞0。随着消费者持有实际货币余额的上升，夜晚市场上的产出水平上升。

货币交易概率的变化引起消费者持有货币实际余额的变化，随之，夜晚市场上的产出水平也会发生变化。随着央行数字货币的发展，CBDC交易场景相较于纸币交易场景上升，此时CBDC交易的概率1－ε上升，纸币交易的概率ε下降，均衡时，消费者持有的CBDC余额上升，持有的纸币余额下降；这将导致通过CBDC交易的产出水平上升，通过纸币交易的产出水平下降，从而带来影子经济规模的降低。综上，市场交易场景的变化影响着消费者持有的最优货币数量，进而对影子经济规模产生影响。通过在市场交易中引入CBDC发现，影子经济规模受CBDC交易的影响，CBDC有助于减缓纸币的诅咒效应。

政府通过税收和铸币税为其支出融资，同时对央行数字货币支付利息。税收、利息率以及通货膨胀率是本文的外生变量，也是政府的政策工具。为了进一步理解CBDC对影子经济规模的影响机制，在接下来的分析中，本文考察模型外生变量动态变化的影响。

2.税收、利息率与通货膨胀

劳动收入税率、 CBDC利息率和通货膨胀是模型的外生变量，这三个外生变量影响着消费者的货币需求。稳态均衡时，消费者持有的实际货币余额受到通货膨胀率的影响。根据货币需求的欧拉方程（18）和（19）可知，消费者持有的实际货币余额和通货膨胀之间存在反向变动的关系：∂zm/∂μm= [ σεβL'(zm)]－1＜0,∂zd/∂μd= [ βσ(1 + rd)(1 －ε)L'(zd)]－1＜0。当通货膨胀率上升时，货币的购买力降低，此时消费者持有货币相当于被征收了通货膨胀税，消费者持有的实际货币余额随之降低。当消费者因纸币的通货膨胀率上升而减少持有纸币时，纸币交易的产出水平降低，影子经济规模随之降低；当CBDC的通货膨胀率上升时，CBDC交易的产出水平因消费者减少持有CBDC而降低，影子经济规模随之上升。由于劳动收入税由生产者支付，当纸币的通货膨胀率足够高时，消费者持有的纸币数量将足够少，高通货膨胀将交易者赶出了影子经济。同样地，如果CBDC的通货膨胀率足够高，交易者便会涌入影子经济。

夜晚市场上，CBDC充当交易媒介提供的流动性服务是其本息和。根据货币需求的欧拉方程（18）和（19）可知，消费者持有的实际货币余额和CBDC利息率之间存在同向变动的关系：∂zd/∂rd = －(1 + μd)/{βσ(1 + rd)2 (1 －ε)L'(zd)}＞0。消费者持有的CBDC余额随着利息率的上升而上升。随着消费者持有的CBDC余额增加，夜晚市场上通过CBDC交易的产出水平上升，进而影子经济规模降低。CBDC利息率的变化通过影响消费者持有的实际货币余额来影响影子经济规模。

不同于白天市场的情形，夜晚市场上的交易是匿名的，夜晚市场上劳动报酬是否缴纳税收取决于使用的交易媒介。由于税收的缘故，交易中使用的交易媒介影响着生产者行为。夜晚市场上的议价结果表明，税收影响着消费者的实际支付余额。当税率上升时，消费者需要支付的实际货币余额降低。均衡时，消费者支付的实际货币余额等于持有的实际货币余额。因此，当税率上升时，消费者持有的实际货币余额降低。当消费者持有的实际货币余额变化时，夜晚市场上的产出水平随之受到影响。然而，夜晚市场上优化问题（6）和（9）的一阶条件表明，通过纸币交易的产出水平不会受到税率变化的影响，税率的变化只会影响CBDC交易的产出水平。产出水平的变化带来影子经济规模的变动。过高的收入税率将会导致较高的影子经济规模，而过低的税率则使得影子经济规模降低。

综上，稳态均衡时，模型中外生变量的变化会引起消费者持有实际货币余额的变化，进而对影子经济规模产生影响。在治理影子经济时，除了货币交易场景设计之外，劳动收入税率、CBDC利息率和通货膨胀也是重要的政策工具。

（一）参数校准

假设夜晚市场上的效用函数为u(q)=(1－ρ)－1q1－ρ , ρ＞0，夜晚市场上生产者的成本函数为c(q)=q，白天市场上的效应函数为v(x)=Blnx, B＞0。本文参数的校准采取两种方式：一是结合相关代表性文献对基本参数加以校准；二是结合中国的实际数据对部分参数进行校准。参照Aruoba的研究，将贴现因子β的取值设定为0.99，夜晚市场上效用函数中参数ρ的取值影响到参数σ的校准值是否符合经济学意义。因此，参照Gomis-Porqueras等的研究，将参数ρ的取值设定为2。为避免夜晚市场上的敲竹杆问题，本文考虑θ =1的情形。本文考虑季度模型，模型中的一个时期表示一个季度。首先，在不考虑CBDC交易的情形下，利用中国1996—2022年货币供给量（M1）、国内生产总值（GDP）、消费价格指数（CPI）和银行间七天同业拆借利率的季度数据来校准模型。参照Lagos和Wright和Gomis-Porqueras等的研究，将实际货币余额的对数差分对实际国内生产总值的对数差分、银行间七天同业拆借利率的对数差分以及上述三个变量的一阶滞后项回归，得出实际货币余额需求的利率弹性为－0.027。其余两个未校准的参数为：白天市场上的效用函数参数B以及夜晚市场上交易成功的概率σ。这两个参数将校准使模型中的货币流通速度和货币需求的利率弹性与数据中的计算结果一致。货币流通速度为名义国内生产总值与货币供给量的比值。参数B决定了在白天市场上产出的数量，B的值将会影响白天和夜晚市场的总产出，从而影响货币流通速度。参数σ表示夜晚市场上匹配交易的概率，这也影响着消费者在货币交易市场上持有的货币余额。模型参数校准结果为：σ ≈ 0.6260, B ≈ 0.1907。校准后的模型显示，中国影子经济在国内生产总值中的平均占比为3.19%。

（二）数值模拟

本部分将借助数值模拟，重点考察央行数字货币的发行对消费者持有的实际货币余额以及影子经济的影响。具体而言，本文通过设定参数ε从1逐渐变化到0来模拟纸币作为支付手段的交易场景被CBDC交易场景不断替代的过程。在图2中，我们分别模拟了货币交易概率1－ε变化时消费者带到夜晚市场上最优货币余额的均衡路径。从图2中可以看出，当1－ε增加时，消费者带到夜晚市场的CBDC余额逐渐上升而纸币余额逐渐下降。由于消费者带入到夜晚市场的CBDC余额上升，消费者与生产者通过CBDC交易时，产出水平会上升。同样地，由于消费者带到夜晚市场的纸币余额逐渐下降，通过纸币交易时的产出水平降低。

由上述分析可知，货币交易概率1－ε的变化既会带来夜晚市场上产出水平的上升也会带来产出水平的下降。产出水平的上升是因为消费者持有CBDC余额增加，产出水平的下降是因为消费者持有纸币余额降低。根据影子经济规模的定义可知，产出水平的这种不同变化共同导致了影子经济规模的下降。利用我国的数据校准模型，在固定校准参数情形下仅仅改变货币交易的概率，本文模拟了货币交易概率1－ε从0增加到1时，我国影子经济规模的均衡路径。

由图3可以看到，随着CBDC交易概率的增加，纸币交易概率逐渐降低，影子经济规模逐渐上升。当CBDC交易的概率为1时，此时CBDC交易占据整个夜晚市场，影子经济规模最低。以上分析可知，影子经济规模随着CBDC交易概率的变化而变化，CBDC交易能够减缓纸币的诅咒效应。

不同于白天市场，夜晚市场上的劳动报酬是否缴纳税收取决于交易使用的媒介。夜晚市场上交易媒介的使用影响着交易中的生产者行为。在图4中，我们模拟了税率变化时消费者持有货币余额的均衡路径。从图4中可以看出，当税率增加时，消费者带到夜晚市场的CBDC余额逐渐降低。随着税率的增加，消费者减少可监测交易媒介CBDC的使用。这一机制对于CBDC的发行具有重要的政策启示，由于CBDC的数字支付特征，税率过高会减少交易者持有CBDC;相反，交易者因较低的税率会愿意持有CBDC。

对于纸币而言，消费者在白天市场赚取的纸币收入受到税收的影响，税率的上升降低了消费者的货币收入，因而夜晚市场上的货币余额降低。另一方面，交易者出于避税动机可能增加纸币的持有。校准后的模型显示，随着税率的上升，消费者持有的纸币余额是逐渐降低的，税负效应大于避税效应。

根据影子经济规模的定义可知，影子经济规模和纸币交易情形下的产出水平存在同向变动的关系，而与CBDC交易下的产出水平存在反向变动的关系。税率变化通过影响消费者的货币余额结构对影子经济规模产生影响。在图5中，根据我国的数据校准模型的参数，我们得到了随着税率的增加影子经济规模是不断上升的结论。税率的增加会同时减少消费者对两种货币的需求，但夜晚市场上的纸币收入不用缴纳劳动收入税，而CBDC收入则需要缴纳收入税。交易媒介的差异影响着生产者的行为。这对于政府部门治理影子经济具有一定的政策含义。在数字支付盛行的时代，税率虽然可以调节消费者的货币需求结构，但是如果简单地调高税率，可能会出现货币需求快速降低、避税行为快速上升的情形。

对于CBDC而言，利息率的变化影响着交易者持有的CBDC数量。在图6中，我们模拟了在不同通货膨胀水平下利息率rd变化时消费者持有最优货币余额以及影子经济规模变化的均衡路径。由货币需求的欧拉方程（19）可知，当利息率rd上升时，消费者将持有更多的CBDC，这也带来夜晚市场上正规部门的产出增加，影子经济规模降低。稳态时消费者的货币余额受到通货膨胀水平的影响。如果CBDC发行过多，其购买力就会降低，交易者持有CBDC的意愿就会降低，因此，夜晚市场上正规部门的产出水平下降以及影子经济规模上升。

上述分析表明，税收政策和利率政策通过影响消费者持有的货币余额作用于影子经济。由于税收是政府收入的主要来源，降低税收可能会带来政府收入的降低。然而提高税收可能会造成CBDC市场份额降低、影子经济规模扩大的不利局面，此时提高货币收益率、控制货币发行可以使政策实现合意的效果。政府在治理影子经济时不仅要关注财政政策，还应注重货币政策与财政政策的协调配合，健全对影子经济的治理体系。

大多数文献考察了影子经济和宏观经济之间的联系。其中一个研究结论是，通货膨胀和影子经济规模之间存在正相关关系。这一发现似乎与本文的研究结论相悖。这类文献利用跨国数据实证检验了通货膨胀对影子经济的影响。他们发现，具有较高通货膨胀水平的国家往往具有较高比例的影子经济规模。对这一现象的解释是，影子经济规模可能与一国的制度以及生产技术水平相关。当考虑制度因素时，通货膨胀的显著性降低，影子经济规模的国别差异主要由制度水平解释。不同于此，在新货币主义经济学的框架里，交易者因夜晚市场上存在双重需求耦合难题而持有货币，而通货膨胀影响交易者持有货币的成本。本文的研究结果表明，当纸币的通货膨胀上升时，交易者因纸币的持有成本上升而减少持有的货币余额，因而影子经济规模降低。

为了研究央行数字货币对影子经济的影响，首先需要理解货币在交换过程中扮演交易媒介的职能。货币搜寻理论考虑交易过程中的摩擦因素，为研究货币政策提供了一个具有坚实微观基础的理论框架。本文在Lagos和Wright商品与货币交换的货币搜寻模型基础上，构建了包含纸币和央行数字货币两种货币的动态一般均衡模型，探讨了货币交易对影子经济的影响机制，揭示了货币交易对影子经济的作用是通过影响交易者的货币需求来实现的。本文研究发现，随着CBDC交易场景的增加，CBDC交易相较于纸币交易上升，影子经济规模将逐渐降低，央行数字货币有助于治理影子经济。

近年来，中国人民银行在全国各地开展数字人民币试点工作。央行数字货币的推广，丰富了商品和货币交易的媒介，扩大了数字支付交易场景。本文的研究为揭示央行数字货币对影子经济的影响效应和作用机制提供了理论阐释，对于数字人民币的发展具有重要启示。首先，从宏观布局来看，政府部门应扩大央行数字货币交易场景。CBDC的数字支付特性有助于解决政府面临的信息不完全问题，在可能涉及洗钱、恐怖融资和逃税等违法犯罪交易时，数字人民币的数字账户特性便于获取相关客户信息进行风险分析及监测。当前数字人民币仍处于试点阶段，应用场景覆盖面较窄，对数字人民币的广泛刚性需求尚未形成，增加数字人民币的交易规模需要扩大应用场景覆盖面。其次，从微观主体来看，政府部门应提升公众接受程度，培养用户使用习惯。考虑到当前数字人民币仍处于试点阶段，交易者对于数字人民币的支付习惯以及使用依赖性并不高。在日常交易中，数字人民币交易场景往往和其他交易媒介（纸币、银行存款、第三方支付等）场景同时存在，消费者出于支付习惯和路径依赖很少使用数字人民币。因此，政府部门应着力推动交易者使用习惯的转变，在工资发放、教育医疗、政务缴费等场景中推动使用数字人民币结算，培养交易者使用央行数字货币的习惯。最后，从政策角度来看，政府部门应降低劳动收入税率。考虑到税收规避是交易者使用匿名性交易媒介的主要原因，税收的变化对货币需求的影响值得关注。在数字人民币发展初期，为减少交易者因避税而减少使用央行数字货币，政府部门应降低通过数字人民币结算的劳动收入税，推动交易者持有央行数字货币并使用央行数字货币进行交易结算。

总体来说，央行数字货币交易场景广泛存在和用户使用刚性需求是央行数字货币治理影子经济的关键所在。在数字人民币发展初期，政府部门可采取多种措施来支持数字人民币的发展，这其中包括扩大央行数字货币交易场景，提升公众接受程度，培养用户使用习惯，此外，政府部门也应降低劳动收入税率，健全影子经济治理体系，以实现治理影子经济目标，促进经济健康发展。